2025 新高考 I 卷数学试题

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让 DeepSeek 解 T19. (3)

给定函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$,要求存在常数 $t$ 使得对任意 $x$,不等式 $5\cos x - \cos(5x + t) \leq b$ 成立,并求 $b$ 的最小值。

定义函数 $g_t(x) = 5\cos x - \cos(5x + t)$。目标是求 $\min_t \max_x g_t(x)$,即 $b$ 的最小值。由于 $g_t(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数,只需考虑 $x \in [0, 2\pi)$。

求临界点

对 $g_t(x)$ 求导:

$$g_t'(x) = -5\sin x + 5\sin(5x + t) = 5[\sin(5x + t) - \sin x].$$

令导数为零:

$$\sin(5x + t) = \sin x.$$

解此方程,有两种情况:

  1. $5x + t = x + 2k\pi$,即 $4x + t = 2k\pi$,解得 $x = \frac{2k\pi - t}{4}$。
  2. $5x + t = \pi - x + 2k\pi$,即 $6x + t = (2k+1)\pi$,解得 $x = \frac{(2k+1)\pi - t}{6}$.

在临界点处,函数值分别为:

  • 对于第一类临界点:$\cos(5x + t) = \cos x$,故 $g_t(x) = 5\cos x - \cos x = 4\cos x$。
  • 对于第二类临界点:$\cos(5x + t) = -\cos x$,故 $g_t(x) = 5\cos x - (-\cos x) = 6\cos x$.

分析临界点

  • 第一类临界点:$x_m = \frac{m\pi}{2} - \frac{t}{4}$,$m = 0, 1, 2, 3$,对应 $g_t(x_m) = 4 \cos\left( \frac{m\pi}{2} - \frac{t}{4} \right)$。
  • 第二类临界点:$x_k = \frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6}$,$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$,对应 $g_t(x_k) = 6 \cos\left( \frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6} \right)$.

角度 $\alpha_k = \frac{(2k+1)\pi}{6}$ 在单位圆上均匀分布,间隔为 $\frac{\pi}{3}$。令 $\psi = \frac{t}{6}$,则 $g_t(x_k) = 6 \cos(\alpha_k - \psi)$。需求 $\min_\psi \max_k \cos(\alpha_k - \psi)$。

设 $\delta_k$ 为 $\alpha_k - \psi$ 模 $2\pi$ 的最小角度距离($|\delta_k| \leq \pi$),则 $\cos(\alpha_k - \psi) = \cos(\delta_k)$。由于 $\cos$ 在 $[0, \pi]$ 上递减,$\max_k \cos(\delta_k) = \cos(d(\psi))$,其中 $d(\psi) = \min_k |\delta_k|$。最小化 $\max_k \cos(\delta_k)$ 等价于最大化 $d(\psi)$。

六个点 $\alpha_k$ 的角度为 $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$(即 $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ$),均匀分布在圆上,相邻点间隔 $\frac{\pi}{3}$。覆盖半径(最大最小距离)为 $\frac{\pi}{6}$(在两点中点处达到)。因此:

$$\min_\psi \max_k \cos(\alpha_k - \psi) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

于是:

$$\min_t \max_k g_t(x_k) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$$
故 $\min_t \max_x g_t(x) \geq 3\sqrt{3}$.

验证 $t = 0$ 时的情况

当 $t = 0$,$g_0(x) = 5\cos x - \cos 5x$。利用恒等式 $\cos 5x = 16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x$,得:
$$g_0(x) = 5\cos x - (16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x) = -16\cos^5 x + 20\cos^3 x.$$
令 $u = \cos x \in [-1, 1]$,则 $h(u) = 20u^3 - 16u^5$。求导:
$$h'(u) = 60u^2 - 80u^4 = 20u^2(3 - 4u^2).$$
临界点为 $u = 0$,$u = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。计算函数值:

  • $u = 0$:$h(0) = 0$,
  • $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$:$h\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 20 \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) - 16 \left(\frac{9\sqrt{3}}{32}\right) = \frac{60\sqrt{3}}{8} - \frac{144\sqrt{3}}{32} = \frac{15\sqrt{3}}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$,
  • $u = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:$h\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3}$,
  • 端点:$h(1) = 4$,$h(-1) = -4$.

最大值为 $3\sqrt{3} \approx 5.196 > 4$,在 $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$(即 $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ 等)处达到。此时,第二类临界点 $x_k = \frac{(2k+1)\pi}{6}$ 中,$k=0$ 时 $x = \frac{\pi}{6}$,$g_0\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。第一类临界点值均不超过 $3\sqrt{3}$(例如 $x=0$ 时 $g_0(0) = 4 < 3\sqrt{3}$)。因此,$\max_x g_0(x) = 3\sqrt{3}$.

最小性证明

若 $b < 3\sqrt{3}$,则对任意 $t$,存在第二类临界点 $x_k$ 使得 $g_t(x_k) = 6 \cos(\alpha_k - \psi) \geq 3\sqrt{3} > b$(因为 $\min_t \max_k g_t(x_k) = 3\sqrt{3}$),故不等式不成立。因此,$b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$,且在 $t = 0$ 时达到。
$$\boxed{3\sqrt{3}}$$

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